Nitadori's test
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開始行:
[[PukiWiki/1.4/Manual/Plugin]]
*TEST [#s0532dca]
#math( y = \sqrt{x} )
#math( z = \frac{1}{y} )
#math( y = ax + b )
*逆数平方根 [#l0a5570b]
以下、基本的に
[[逆数と平方根を求める高次収束アルゴリズム:http://www.fin...
をベースに数式を整形したものです。
また、SSEでの実装については
[[advanced optimization SSE:http://homepage1.nifty.com/he...
も参考になるでしょう。
除算と平方根は一般的に加減乗算よりも計算コストが一桁高く、
数値計算においてもこの部分を高速化することが重要になるこ...
よく知られている方法として、逆数（&math(1/x);）ないし逆数...
の適当な初期値推定から、
加減乗算のみを用いて精度を改善するというものがあります。
最近はハードウェアで高速にこの初期値推定を行う命令をそな...
（SSEやHPC-ACE）。ただし、初期値の精度（有効ビット数）は...
最終的に必要とされる精度はアプリケーション依存です。
ここでは、「Newton-Raphson法を倍精度に収束するまで闇雲に...
**逆数 [#m5a0b70b]
#math( y_n \simeq 1 / x, )
として、二次収束：
#math( y_{n+1} = 2 y_n - x y_n^2. )
add, mul, mulsub
と覚えるとよいでしょう（２倍を加算で実現すれば定数が不要...
より高次のものは、
#math(h_n \equiv 1 - x y_n)
として、
三次収束：
#math( y_ {n+1} = (1 + h_n(1 + h_n)) y_n, )
四次収束は因数分解できて：
#math( y_{n+1} = (1 + h_n)(1 + h_n^2) y_n, )
八次収束：
#math( y_{n+1} = (1 + h_n)(1 + h_n^2)(1 + h_n^4) y_n, )
FMA dual-issueの計算機を考えると、
h = 1.0 - x*y, hp1 = 2.0 - x*y;
h2 = h*h, tmp1 = hp1*y;
h2p1 = 1.0 + h2, h4p1 = 1.0 + h2*h2;
tmp2 = h2p1*h4p1;
y = tmp1*tmp2;
のように実装でき、スループットベースでは5 cycle程度の消費...
#math( y_n = \frac1x (1 - h_n), )
と言う事を考えれば上記の公式はすんなりと納得出来ると思う。
**逆数平方根 [#ac26a679]
終了行:
[[PukiWiki/1.4/Manual/Plugin]]
*TEST [#s0532dca]
#math( y = \sqrt{x} )
#math( z = \frac{1}{y} )
#math( y = ax + b )
*逆数平方根 [#l0a5570b]
以下、基本的に
[[逆数と平方根を求める高次収束アルゴリズム:http://www.fin...
をベースに数式を整形したものです。
また、SSEでの実装については
[[advanced optimization SSE:http://homepage1.nifty.com/he...
も参考になるでしょう。
除算と平方根は一般的に加減乗算よりも計算コストが一桁高く、
数値計算においてもこの部分を高速化することが重要になるこ...
よく知られている方法として、逆数（&math(1/x);）ないし逆数...
の適当な初期値推定から、
加減乗算のみを用いて精度を改善するというものがあります。
最近はハードウェアで高速にこの初期値推定を行う命令をそな...
（SSEやHPC-ACE）。ただし、初期値の精度（有効ビット数）は...
最終的に必要とされる精度はアプリケーション依存です。
ここでは、「Newton-Raphson法を倍精度に収束するまで闇雲に...
**逆数 [#m5a0b70b]
#math( y_n \simeq 1 / x, )
として、二次収束：
#math( y_{n+1} = 2 y_n - x y_n^2. )
add, mul, mulsub
と覚えるとよいでしょう（２倍を加算で実現すれば定数が不要...
より高次のものは、
#math(h_n \equiv 1 - x y_n)
として、
三次収束：
#math( y_ {n+1} = (1 + h_n(1 + h_n)) y_n, )
四次収束は因数分解できて：
#math( y_{n+1} = (1 + h_n)(1 + h_n^2) y_n, )
八次収束：
#math( y_{n+1} = (1 + h_n)(1 + h_n^2)(1 + h_n^4) y_n, )
FMA dual-issueの計算機を考えると、
h = 1.0 - x*y, hp1 = 2.0 - x*y;
h2 = h*h, tmp1 = hp1*y;
h2p1 = 1.0 + h2, h4p1 = 1.0 + h2*h2;
tmp2 = h2p1*h4p1;
y = tmp1*tmp2;
のように実装でき、スループットベースでは5 cycle程度の消費...
#math( y_n = \frac1x (1 - h_n), )
と言う事を考えれば上記の公式はすんなりと納得出来ると思う。
**逆数平方根 [#ac26a679]
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