MINRES 法
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開始行:
[[1 線形方程式の解法の選択]]&br;
[[2 参考文献および参考書の記述]]&br;
線形方程式, &math(Ax=b); >>> 実対称/複素エ...
#contents
---------------------------------------------
*概要 [#y944675d]
-MINRES法(最小残差法)は1975年にPaigeとSaundersによって提...
-初期近似解を&math(\vec{x}_0);, 対応する初期残差を&math(\...
この時, MINRES法の&math(k);反復目の近似解&math(\vec{x}_k)...
#br
CENTER:&math(\vec{x}_k \in \vec{x}_0 + {\mathcal K}_k(A,\...
#br
のように, 初期近似解&math(\vec{x}_0);とクリロフ部分空間&m...
#br
CENTER:&math(\min \| \vec{r}_k \|_2);
#br
を満たすように設定される.
このため, 残差ノルム&math(\| \vec{r}_k \|_2);の単調減少性...
-MINRES法の残差ベクトル&math(\vec{r}_k=\vec{b}-A\vec{x}_k...
#br
CENTER:&math(\vec{r}_k \bot A{\mathcal K}_k(A,\vec{r}_0));
#br
の直交性を持つ.
-[[CR 法]]と数学的に同値である.
-[[CG 法]]と異なり, 不定値な行列に対しても適用可能である.
//---------------------------------------------
*導出 [#y765dbc2]
準備中
//---------------------------------------------
*アルゴリズム [#g3c09fe9]
**MINRES法 [#xc2f5148]
+Set an initial guess &math(\vec{x}_0);
+Compute &math(\vec{v}_1=\vec{b}-A\vec{x}_0);
+Set &math(\beta_1 = \|\vec{v}_1\|_2, \eta = \beta_1, \ga...
+For &math(k = 1, 2, \ldots);
+ &math(\vec{v}_k = (1/\beta_k)\vec{v}_k);
+ &math(\alpha_k = \vec{v}_k^H A\vec{v}_k);
+ &math(\vec{v}_{k+1} = A\vec{v}_k - \alpha_k \vec{v}_...
+ &math(\beta_{k+1}=\|\vec{v}_{k+1}\|_2);
+ &math(\delta=\gamma_k \alpha_k-\gamma_{k-1} \sigma_k...
+ &math(\rho_1 = \sqrt{\delta^2+\beta_{k+1}^2});
+ &math(\rho_2 = \sigma_k\alpha_k + \gamma_{k-1} \gamm...
+ &math(\rho_3 = \sigma_{k-1} \beta_k);
+ &math(\gamma_{k+1}=\delta/\rho_1);
+ &math(\sigma_{k+1} = \beta_{k+1}/\rho_1);
+ &math(\vec{w}_k = (\vec{v}_k - \rho_3 \vec{w}_{k-2} ...
+ &math(\vec{x}_k = \vec{x}_{k-1} + \gamma_{k+1} \eta ...
+ &math(\|\vec{r}_k\|_2 = |\sigma_{k+1}| \| \vec{r}_{k...
+ &math(\eta = - \sigma_{k+1} \eta);
+End For
//---------------------------------------------
*サンプルプログラム [#z4fb948d]
準備中
//---------------------------------------------
*適用事例 [#xb92758f]
準備中
*参考文献および参考書 [#t1b3c233]
**原著論文 [#r3a47c2b]
[12] Christopher C. Paige and Michael A. Saunders, Soluti...
**教科書 [#o9b766b8]
[2] Richard Barrett, Michael W. Berry, Tony F. Chan, Jame...
Victor Eijkhout, Roldan Pozo, Charles Romine and Henk A. ...
Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative...
1993.&br;
P17-18
[27] Henk A. van der Vorst, Iterative Krylov Methods for ...
Press: New York, NY, 2003.&br;
P84–91
終了行:
[[1 線形方程式の解法の選択]]&br;
[[2 参考文献および参考書の記述]]&br;
線形方程式, &math(Ax=b); >>> 実対称/複素エ...
#contents
---------------------------------------------
*概要 [#y944675d]
-MINRES法(最小残差法)は1975年にPaigeとSaundersによって提...
-初期近似解を&math(\vec{x}_0);, 対応する初期残差を&math(\...
この時, MINRES法の&math(k);反復目の近似解&math(\vec{x}_k)...
#br
CENTER:&math(\vec{x}_k \in \vec{x}_0 + {\mathcal K}_k(A,\...
#br
のように, 初期近似解&math(\vec{x}_0);とクリロフ部分空間&m...
#br
CENTER:&math(\min \| \vec{r}_k \|_2);
#br
を満たすように設定される.
このため, 残差ノルム&math(\| \vec{r}_k \|_2);の単調減少性...
-MINRES法の残差ベクトル&math(\vec{r}_k=\vec{b}-A\vec{x}_k...
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CENTER:&math(\vec{r}_k \bot A{\mathcal K}_k(A,\vec{r}_0));
#br
の直交性を持つ.
-[[CR 法]]と数学的に同値である.
-[[CG 法]]と異なり, 不定値な行列に対しても適用可能である.
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*導出 [#y765dbc2]
準備中
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*アルゴリズム [#g3c09fe9]
**MINRES法 [#xc2f5148]
+Set an initial guess &math(\vec{x}_0);
+Compute &math(\vec{v}_1=\vec{b}-A\vec{x}_0);
+Set &math(\beta_1 = \|\vec{v}_1\|_2, \eta = \beta_1, \ga...
+For &math(k = 1, 2, \ldots);
+ &math(\vec{v}_k = (1/\beta_k)\vec{v}_k);
+ &math(\alpha_k = \vec{v}_k^H A\vec{v}_k);
+ &math(\vec{v}_{k+1} = A\vec{v}_k - \alpha_k \vec{v}_...
+ &math(\beta_{k+1}=\|\vec{v}_{k+1}\|_2);
+ &math(\delta=\gamma_k \alpha_k-\gamma_{k-1} \sigma_k...
+ &math(\rho_1 = \sqrt{\delta^2+\beta_{k+1}^2});
+ &math(\rho_2 = \sigma_k\alpha_k + \gamma_{k-1} \gamm...
+ &math(\rho_3 = \sigma_{k-1} \beta_k);
+ &math(\gamma_{k+1}=\delta/\rho_1);
+ &math(\sigma_{k+1} = \beta_{k+1}/\rho_1);
+ &math(\vec{w}_k = (\vec{v}_k - \rho_3 \vec{w}_{k-2} ...
+ &math(\vec{x}_k = \vec{x}_{k-1} + \gamma_{k+1} \eta ...
+ &math(\|\vec{r}_k\|_2 = |\sigma_{k+1}| \| \vec{r}_{k...
+ &math(\eta = - \sigma_{k+1} \eta);
+End For
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*サンプルプログラム [#z4fb948d]
準備中
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*適用事例 [#xb92758f]
準備中
*参考文献および参考書 [#t1b3c233]
**原著論文 [#r3a47c2b]
[12] Christopher C. Paige and Michael A. Saunders, Soluti...
**教科書 [#o9b766b8]
[2] Richard Barrett, Michael W. Berry, Tony F. Chan, Jame...
Victor Eijkhout, Roldan Pozo, Charles Romine and Henk A. ...
Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative...
1993.&br;
P17-18
[27] Henk A. van der Vorst, Iterative Krylov Methods for ...
Press: New York, NY, 2003.&br;
P84–91
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