GMRES(m) 法
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開始行:
[[1 線形方程式の解法の選択]]&br;
[[2 参考文献および参考書の記述]]&br;
線形方程式, &math(Ax=b); >>> 実非対称/複素...
#contents
---------------------------------------------
*概要 [#q6633127]
-GMRES(m)法は1986年にSaadとSchultzによって提案された非エ...
-リスタート版[[GMRES 法]].
:リスタート|アルゴリズムの反復を所定のリスタート周期&math...
-リスタートを適用することで, Arnoldi原理の長い漸化式に由...
一方で, 収束性は悪化する.
-GMRES法と同様残差ノルム&math(\|\vec{r}_k\|_2);の単調減少...
//---------------------------------------------
*導出 [#y765dbc2]
準備中
//---------------------------------------------
*アルゴリズム [#g3c09fe9]
**GMRES(m)法 [#xc2f5148]
+Set an initial guess &math(\vec{x}_0);
+Compute &math(\vec{r}_0=\vec{b}-A\vec{x}_0);
+Set &math(\beta=\|\vec{r}_0\|_2, \vec{v}_1=\vec{r}_0/\be...
+For &math(k = 1, 2, \ldots, m);
+ &math(\vec{w}_{k+1} = A \vec{v}_k);
+ For &math(i = 1, 2, \ldots, k);
+ &math(h_{i,k} = (\vec{w}_{k+1},\vec{v}_i));
+ &math(\vec{w}_{i,k} = \vec{w}_{i,k} - h_{i,k}\ve...
+ End For
+ &math(h_{k+1,k} = \| \vec{w}_{k+1} \|_2);
+ &math(\vec{w}_{k+1} = \vec{w}_{k+1} / h_{k+1,k});
+ For &math(i = 1, 2, \ldots, k-1);
+ &math( \left( \begin{array}{c} h_{i,k} \\ h_{i+1...
+ End For
+ &math(c_k = \frac{h_{k,k}}{ \sqrt{ h_{k,k}^2+ | h_{k...
+ &math(s_k = \frac{h_{k+1,k}}{ \sqrt{ h_{k,k}^2+ | h_...
+ &math(e_{k+1} = -s_k e_k);
+ &math(e_k = \overline{c}_k e_k);
+ &math(h_{k,k} = \sqrt{ h_{k,k}^2+ | h_{k+1,k} |^2 });
+ &math(h_{k+1,k}=0);
+ If &math( |e_{k+1}| \leq \epsilon \| \vec{b}\|_2); o...
+ &math(\vec{y}_k = H_k^{-1} \vec{e}_1);
+ &math(\vec{x}_k = \vec{x}_0 + \sum_{i=1}^k \vec{...
+ exit
+ End If
+End For
+Set &math(\vec{x}_0 = \vec{x}_m); and go to 2
**前処理付きGMRES(m)法 [#xc2f5148]
+Set an initial guess &math(\vec{x}_0);
+Compute &math(\vec{r}_0=\vec{b}-A\vec{x}_0);
+Set &math(\beta=\|\vec{r}_0\|_2, \vec{v}_1=\vec{r}_0/\be...
+For &math(k = 1, 2, \ldots, m);
+ &math(\vec{w}_{k+1} = AK^{-1} \vec{v}_k);
+ For &math(i = 1, 2, \ldots, k);
+ &math(h_{i,k} = (\vec{w}_{k+1},\vec{v}_i));
+ &math(\vec{w}_{i,k} = \vec{w}_{i,k} - h_{i,k}\ve...
+ End For
+ &math(h_{k+1,k} = \| \vec{w}_{k+1} \|_2);
+ &math(\vec{w}_{k+1} = \vec{w}_{k+1} / h_{k+1,k});
+ For &math(i = 1, 2, \ldots, k-1);
+ &math( \left( \begin{array}{c} h_{i,k} \\ h_{i+1...
+ End For
+ &math(c_k = \frac{h_{k,k}}{ \sqrt{ h_{k,k}^2+ | h_{k...
+ &math(s_k = \frac{h_{k+1,k}}{ \sqrt{ h_{k,k}^2+ | h_...
+ &math(e_{k+1} = -s_k e_k);
+ &math(e_k = \overline{c}_k e_k);
+ &math(h_{k,k} = \sqrt{ h_{k,k}^2+ | h_{k+1,k} |^2 });
+ &math(h_{k+1,k}=0);
+ If &math(|e_{k+1}| \leq \epsilon \| \vec{b}\|_2); or...
+ &math(\vec{y}_k = H_k^{-1} \vec{e}_1);
+ &math(\vec{x}_k = \vec{x}_0 + K^{-1} \sum_{i=1}^...
+ exit
+ End If
+End For
+Set &math(\vec{x}_0 = \vec{x}_m); and go to 2
//---------------------------------------------
*サンプルプログラム [#z4fb948d]
準備中
//---------------------------------------------
*適用事例 [#xb92758f]
準備中
*参考文献および参考書 [#y36be55d]
**原著論文 [#qfdf8a75]
[15] Yousef Saad and Martin H. Schultz, GMRES: a generali...
**教科書 [#m4b4f601]
[2] Richard Barrett, Michael W. Berry, Tony F. Chan, Jame...
Victor Eijkhout, Roldan Pozo, Charles Romine and Henk A. ...
Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative...
1993.&br;
P19–21
[14] Yousef Saad, Iterative Methods for Sparse Linear Sys...
2003.&br;
P164–172
[27] Henk A. van der Vorst, Iterative Krylov Methods for ...
Press: New York, NY, 2003.&br;
P65–84
[23] Masaaki Sugihara and Kazuo Murota, Theoretical Numer...
Tokyo, 2009, (in Japanese).&br;
P173–181
[29] 藤野 清次, 張 紹良, 反復法の数理 (応用数値計算ライブ...
P57–63
終了行:
[[1 線形方程式の解法の選択]]&br;
[[2 参考文献および参考書の記述]]&br;
線形方程式, &math(Ax=b); >>> 実非対称/複素...
#contents
---------------------------------------------
*概要 [#q6633127]
-GMRES(m)法は1986年にSaadとSchultzによって提案された非エ...
-リスタート版[[GMRES 法]].
:リスタート|アルゴリズムの反復を所定のリスタート周期&math...
-リスタートを適用することで, Arnoldi原理の長い漸化式に由...
一方で, 収束性は悪化する.
-GMRES法と同様残差ノルム&math(\|\vec{r}_k\|_2);の単調減少...
//---------------------------------------------
*導出 [#y765dbc2]
準備中
//---------------------------------------------
*アルゴリズム [#g3c09fe9]
**GMRES(m)法 [#xc2f5148]
+Set an initial guess &math(\vec{x}_0);
+Compute &math(\vec{r}_0=\vec{b}-A\vec{x}_0);
+Set &math(\beta=\|\vec{r}_0\|_2, \vec{v}_1=\vec{r}_0/\be...
+For &math(k = 1, 2, \ldots, m);
+ &math(\vec{w}_{k+1} = A \vec{v}_k);
+ For &math(i = 1, 2, \ldots, k);
+ &math(h_{i,k} = (\vec{w}_{k+1},\vec{v}_i));
+ &math(\vec{w}_{i,k} = \vec{w}_{i,k} - h_{i,k}\ve...
+ End For
+ &math(h_{k+1,k} = \| \vec{w}_{k+1} \|_2);
+ &math(\vec{w}_{k+1} = \vec{w}_{k+1} / h_{k+1,k});
+ For &math(i = 1, 2, \ldots, k-1);
+ &math( \left( \begin{array}{c} h_{i,k} \\ h_{i+1...
+ End For
+ &math(c_k = \frac{h_{k,k}}{ \sqrt{ h_{k,k}^2+ | h_{k...
+ &math(s_k = \frac{h_{k+1,k}}{ \sqrt{ h_{k,k}^2+ | h_...
+ &math(e_{k+1} = -s_k e_k);
+ &math(e_k = \overline{c}_k e_k);
+ &math(h_{k,k} = \sqrt{ h_{k,k}^2+ | h_{k+1,k} |^2 });
+ &math(h_{k+1,k}=0);
+ If &math( |e_{k+1}| \leq \epsilon \| \vec{b}\|_2); o...
+ &math(\vec{y}_k = H_k^{-1} \vec{e}_1);
+ &math(\vec{x}_k = \vec{x}_0 + \sum_{i=1}^k \vec{...
+ exit
+ End If
+End For
+Set &math(\vec{x}_0 = \vec{x}_m); and go to 2
**前処理付きGMRES(m)法 [#xc2f5148]
+Set an initial guess &math(\vec{x}_0);
+Compute &math(\vec{r}_0=\vec{b}-A\vec{x}_0);
+Set &math(\beta=\|\vec{r}_0\|_2, \vec{v}_1=\vec{r}_0/\be...
+For &math(k = 1, 2, \ldots, m);
+ &math(\vec{w}_{k+1} = AK^{-1} \vec{v}_k);
+ For &math(i = 1, 2, \ldots, k);
+ &math(h_{i,k} = (\vec{w}_{k+1},\vec{v}_i));
+ &math(\vec{w}_{i,k} = \vec{w}_{i,k} - h_{i,k}\ve...
+ End For
+ &math(h_{k+1,k} = \| \vec{w}_{k+1} \|_2);
+ &math(\vec{w}_{k+1} = \vec{w}_{k+1} / h_{k+1,k});
+ For &math(i = 1, 2, \ldots, k-1);
+ &math( \left( \begin{array}{c} h_{i,k} \\ h_{i+1...
+ End For
+ &math(c_k = \frac{h_{k,k}}{ \sqrt{ h_{k,k}^2+ | h_{k...
+ &math(s_k = \frac{h_{k+1,k}}{ \sqrt{ h_{k,k}^2+ | h_...
+ &math(e_{k+1} = -s_k e_k);
+ &math(e_k = \overline{c}_k e_k);
+ &math(h_{k,k} = \sqrt{ h_{k,k}^2+ | h_{k+1,k} |^2 });
+ &math(h_{k+1,k}=0);
+ If &math(|e_{k+1}| \leq \epsilon \| \vec{b}\|_2); or...
+ &math(\vec{y}_k = H_k^{-1} \vec{e}_1);
+ &math(\vec{x}_k = \vec{x}_0 + K^{-1} \sum_{i=1}^...
+ exit
+ End If
+End For
+Set &math(\vec{x}_0 = \vec{x}_m); and go to 2
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*サンプルプログラム [#z4fb948d]
準備中
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*適用事例 [#xb92758f]
準備中
*参考文献および参考書 [#y36be55d]
**原著論文 [#qfdf8a75]
[15] Yousef Saad and Martin H. Schultz, GMRES: a generali...
**教科書 [#m4b4f601]
[2] Richard Barrett, Michael W. Berry, Tony F. Chan, Jame...
Victor Eijkhout, Roldan Pozo, Charles Romine and Henk A. ...
Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative...
1993.&br;
P19–21
[14] Yousef Saad, Iterative Methods for Sparse Linear Sys...
2003.&br;
P164–172
[27] Henk A. van der Vorst, Iterative Krylov Methods for ...
Press: New York, NY, 2003.&br;
P65–84
[23] Masaaki Sugihara and Kazuo Murota, Theoretical Numer...
Tokyo, 2009, (in Japanese).&br;
P173–181
[29] 藤野 清次, 張 紹良, 反復法の数理 (応用数値計算ライブ...
P57–63
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![[JICFuS Wiki]](image/pukiwiki.png "[JICFuS Wiki]")
