CR 法
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開始行:
[[1 線形方程式の解法の選択]]&br;
[[2 参考文献および参考書の記述]]&br;
線形方程式, &math(Ax=b); >>> 実対称/複素エ...
#contents
---------------------------------------------
*概要 [#y944675d]
-CR法(共役残差法)は1952年にStiefelによって提案されたエル...
-初期近似解を&math(\vec{x}_0);, 対応する初期残差を&math(\...
この時, CR法の&math(k);反復目の近似解&math(\vec{x}_k);は,
#br
CENTER:&math(\vec{x}_k \in \vec{x}_0 + {\mathcal K}_k(A,\...
#br
のように, 初期近似解&math(\vec{x}_0);とクリロフ部分空間&m...
#br
CENTER:&math(\vec{r}_k \bot A{\mathcal K}_k(A,\vec{r}_0));
#br
の直交条件(Petrov-Galerkin条件)を満たすように設定される.
-CR法の残差ベクトル&math(\vec{r}_k=\vec{b}-A\vec{x}_k);は...
#br
CENTER:&math(\min \| \vec{r}_k \|_2);
#br
を満たし, 残差ノルム&math(\| \vec{r}_k \|_2);の単調減少性...
-[[MINRES 法]]と数学的に同値である.
-[[CG 法]]と異なり, 不定値な行列に対しても適用可能である.
//---------------------------------------------
*導出 [#y765dbc2]
準備中
//---------------------------------------------
*アルゴリズム [#g3c09fe9]
**CR法 [#x87397e4]
+Set an initial guess &math(\vec{x}_0);
+Compute &math(\vec{r}_0=\vec{b}-A\vec{x}_0, \vec{p}_0 = ...
+For &math(k = 0, 1, 2, \ldots);
+ &math(\quad \alpha_k = (A\vec{r}_k, \vec{r}_k)/ (A\v...
+ &math(\quad \vec{x}_{k+1} = \vec{x}_k + \alpha_k \ve...
+ &math(\quad \vec{r}_{k+1} = \vec{r}_k - \alpha_k A \...
+ &math(\quad \beta_k = (A\vec{r}_{k+1},\vec{r}_{k+1})...
+ &math(\quad \vec{p}_{k+1} = \vec{r}_{k+1} + \beta_k ...
+ &math(\quad A\vec{p}_{k+1} = A\vec{r}_{k+1} + \beta_...
+End For
**前処理付きCR法 [#da0d7d55]
+Set an initial guess &math(\vec{x}_0);
+Compute &math(\vec{r}_0=\vec{b}-A\vec{x}_0, \vec{p}_0 = ...
+For &math(k = 0, 1, 2, \ldots);
+ &math(\quad \alpha_k = (AK^{-1} \vec{r}_k, K^{-1}\ve...
+ &math(\quad \vec{x}_{k+1} = \vec{x}_k + \alpha_k \ve...
+ &math(\quad \vec{r}_{k+1} = \vec{r}_k - \alpha_k A \...
+ &math(\quad K^{-1}\vec{r}_{k+1} = K^{-1}\vec{r}_k - ...
+ &math(\quad \beta_k = (AK^{-1} \vec{r}_{k+1},K^{-1}\...
+ &math(\quad \vec{p}_{k+1} = K^{-1} \vec{r}_{k+1} + \...
+ &math(\quad A\vec{p}_{k+1} = AK^{-1} \vec{r}_{k+1} +...
+End For
//---------------------------------------------
*サンプルプログラム [#z4fb948d]
準備中
//---------------------------------------------
*適用事例 [#xb92758f]
準備中
*参考文献および参考書 [#t1b3c233]
**原著論文 [#r3a47c2b]
[22] Eduard Stiefel, Relaxationsmethoden bester strategie...
**教科書 [#o9b766b8]
[14] Yousef Saad, Iterative Methods for Sparse Linear Sys...
2003.&br;
P194
終了行:
[[1 線形方程式の解法の選択]]&br;
[[2 参考文献および参考書の記述]]&br;
線形方程式, &math(Ax=b); >>> 実対称/複素エ...
#contents
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*概要 [#y944675d]
-CR法(共役残差法)は1952年にStiefelによって提案されたエル...
-初期近似解を&math(\vec{x}_0);, 対応する初期残差を&math(\...
この時, CR法の&math(k);反復目の近似解&math(\vec{x}_k);は,
#br
CENTER:&math(\vec{x}_k \in \vec{x}_0 + {\mathcal K}_k(A,\...
#br
のように, 初期近似解&math(\vec{x}_0);とクリロフ部分空間&m...
#br
CENTER:&math(\vec{r}_k \bot A{\mathcal K}_k(A,\vec{r}_0));
#br
の直交条件(Petrov-Galerkin条件)を満たすように設定される.
-CR法の残差ベクトル&math(\vec{r}_k=\vec{b}-A\vec{x}_k);は...
#br
CENTER:&math(\min \| \vec{r}_k \|_2);
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を満たし, 残差ノルム&math(\| \vec{r}_k \|_2);の単調減少性...
-[[MINRES 法]]と数学的に同値である.
-[[CG 法]]と異なり, 不定値な行列に対しても適用可能である.
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*導出 [#y765dbc2]
準備中
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*アルゴリズム [#g3c09fe9]
**CR法 [#x87397e4]
+Set an initial guess &math(\vec{x}_0);
+Compute &math(\vec{r}_0=\vec{b}-A\vec{x}_0, \vec{p}_0 = ...
+For &math(k = 0, 1, 2, \ldots);
+ &math(\quad \alpha_k = (A\vec{r}_k, \vec{r}_k)/ (A\v...
+ &math(\quad \vec{x}_{k+1} = \vec{x}_k + \alpha_k \ve...
+ &math(\quad \vec{r}_{k+1} = \vec{r}_k - \alpha_k A \...
+ &math(\quad \beta_k = (A\vec{r}_{k+1},\vec{r}_{k+1})...
+ &math(\quad \vec{p}_{k+1} = \vec{r}_{k+1} + \beta_k ...
+ &math(\quad A\vec{p}_{k+1} = A\vec{r}_{k+1} + \beta_...
+End For
**前処理付きCR法 [#da0d7d55]
+Set an initial guess &math(\vec{x}_0);
+Compute &math(\vec{r}_0=\vec{b}-A\vec{x}_0, \vec{p}_0 = ...
+For &math(k = 0, 1, 2, \ldots);
+ &math(\quad \alpha_k = (AK^{-1} \vec{r}_k, K^{-1}\ve...
+ &math(\quad \vec{x}_{k+1} = \vec{x}_k + \alpha_k \ve...
+ &math(\quad \vec{r}_{k+1} = \vec{r}_k - \alpha_k A \...
+ &math(\quad K^{-1}\vec{r}_{k+1} = K^{-1}\vec{r}_k - ...
+ &math(\quad \beta_k = (AK^{-1} \vec{r}_{k+1},K^{-1}\...
+ &math(\quad \vec{p}_{k+1} = K^{-1} \vec{r}_{k+1} + \...
+ &math(\quad A\vec{p}_{k+1} = AK^{-1} \vec{r}_{k+1} +...
+End For
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*サンプルプログラム [#z4fb948d]
準備中
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*適用事例 [#xb92758f]
準備中
*参考文献および参考書 [#t1b3c233]
**原著論文 [#r3a47c2b]
[22] Eduard Stiefel, Relaxationsmethoden bester strategie...
**教科書 [#o9b766b8]
[14] Yousef Saad, Iterative Methods for Sparse Linear Sys...
2003.&br;
P194
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