CG 法
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[[1 線形方程式の解法の選択]]&br;
[[2 参考文献および参考書の記述]]&br;
線形方程式, &math(Ax=b); >>> 実対称/複素エ...
#contents
---------------------------------------------
*概要 [#y944675d]
-CG法(共役勾配法)は1952年にHestenesとStiefelによって提案...
-初期近似解を&math(\vec{x}_0);, 対応する初期残差を&math(\...
また, 線形方程式&math(A\vec{x}=\vec{b});の真の解を&math(\...
この時, CG法の&math(k);反復目の近似解&math(\vec{x}_k);は,
#br
CENTER:&math(\vec{x}_k \in \vec{x}_0 + {\mathcal K}_k(A,\...
#br
のように, 初期近似解&math(\vec{x}_0);とクリロフ部分空間&m...
#br
CENTER:&math(\phi(\vec{x}):= (\vec{x}-\vec{x}^\ast, A(\ve...
#br
を最小化するように設定される.
(行列&math(A);が正定値の時, &math(\phi(\vec{x}) \geq 0 = ...
-CG法の近似解&math(\vec{x}_k);に対応する残差ベクトル&math...
#br
CENTER:&math(\vec{r}_k \bot {\mathcal K}_k(A,\vec{r}_0));
#br
の直交性(Ritz-Galerkin条件)を持つ.
-CG法の収束性は
#br
CENTER:&math(\phi(\vec{x}_k) \leq \phi(\vec{x}_0) \cdot 4...
#br
で表され, 2次関数値&math(\phi(\vec{x}_k));は単調に減少する.
ここで, &math(\kappa=);(最大固有値)/(最小固有値)であると...
ただし, 一般に収束判定に用いられる残差ノルム&math(\| \vec...
//---------------------------------------------
*導出 [#w048acf0]
**2次関数最小化としての導出 [#h1be2ba3]
~線形方程式&math(A\vec{x}=\vec{b});の真の解を&math(\vec{x...
この時, 2次関数
#br
//#math(\phi(\vec{x}):= (\vec{x}-\vec{x}^\ast, A(\vec{x}-...
CENTER:&math(\phi(\vec{x}):= (\vec{x}-\vec{x}^\ast, A(\ve...
#br
は, &math(\phi(\vec{x}) \geq 0 = \phi(\vec{x}^\ast));を満...
そこで, 2次関数&math(\phi(\vec{x}));の最小化問題
#br
#math( \min_{\vec{x} \in C^n } \phi(\vec{x}) )
#br
を(反復法で)解くことで, 線形方程式&math(A\vec{x}=\vec{b})...
***逐次最小化法 [#p7fd3c6e]
~最小化問題(1)を解く単純な反復法として, 適当な初期近似解&...
+何らかの方法で, 探索方向ベクトル&math(\vec{p}_k);を定める.
+&math(\phi(\vec{x}_k+\alpha_k \vec{p}_k));を最小化するよ...
を繰り返すアルゴリズムが考えられる.
このアルゴリズムは''逐次最小化法''とよばれ, 1次元最小化の...
***最急降下法 [#h7e9d6fa]
~探索方向ベクトル&math(\vec{p}_k);の設定によって様々な逐...
#br
CENTER:&math(\vec{p}_k = -\nabla \phi(\vec{x}_k) = \vec{r...
#br
のように&math(\vec{x}=\vec{x}_k);における&math(\phi(\vec{...
この方法は''最急降下法''と呼ばる.
最急降下法は目的関数&math(\phi(\vec{x}_k));が単調に減少し...
***共役方向法 [#r7343d56]
~一方, 一般の逐次最小化法で得られる近似解&math(\vec{x}_k)...
#br
CENTER:&math({\mathcal S}_k = \vec{x}_0 + {\bf span}\{\ve...
#br
に属する.
ここで, 逐次最小化法(の探索方向ベクトル&math(\vec{p}_k);)...
証明は割愛するが, 探索方向ベクトル&math(\vec{p}_k);に対し,
#br
#math( (\vec{p}_i,A\vec{p}_j) = 0, \quad 0 \leq i<j \leq ...
#br
を仮定すると, 以下が成り立つ.
-&math(\vec{p}_1, \vec{p}_2, \ldots, \vec{p}_{k-1});は1次...
#br
CENTER:&math({\bf dim}({\mathcal S}_k) = k);.
-&math(\vec{x}_k);はアフィン空間&math({\mathcal S}_k);上...
#br
CENTER:&math(\phi(\vec{x}_k) = \min_{\vec{x} \in {\mathca...
-残差ベクトル&math(\vec{r}_k = \vec{b} - A\vec{x}_k);はそ...
#br
CENTER:&math( (\vec{r}_k,\vec{p}_j) = 0, \quad j = 0, 1, ...
このように逐次最小化法の探索方向ベクトル&math(\vec{p}_k);...
***共役勾配法 [#ee158e98]
最急降下法に基づく共役方向法として,
#br
CENTER:&math(\vec{p}_0 = \vec{r}_0,);
#br
CENTER:&math(\vec{p}_k = \vec{r}_k - \sum_{j=0}^{k-1} \fr...
#br
と設定する方法を''共役勾配法(Conjugate Gradient法)''と呼ぶ.
また, CG法の&math(\alpha_k, \beta_{k-1});はそれぞれ,
#br
CENTER:&math( \alpha_k = \frac{(\vec{r}_k,\vec{p}_k)}{(\v...
#br
のように変形出来る.
**クリロフ部分空間法としての導出 [#p7960a3b]
//準備中
初期近似解を&math(\vec{x}_0);, 対応する初期残差を&math(\v...
また, Krylov部分空間
#br
#math({\mathcal K}_k(A,\vec{r}_0) := {\bf span}\{\vec{r}_...
#br
の基底を列に持つ&math(n \times k);行列を&math(V_k=[\vec{v...
この時, 一般に, Krylov部分空間法の&math(k);反復目の近似解...
#br
CENTER:&math(\vec{x}_k = \vec{x}_0 + V_k \vec{y}_k, \quad...
#br
と書ける.
ここで, &math(\vec{y}_k \in {\mathcal C}^k);である.
基底の生成アルゴリズムおよびベクトル&math(\vec{y}_k);の設...
CG法は, Lanczos原理に基づき基底&math(V_k);を, またベクト...
***Lanczos原理 [#w5d0c3bc]
行列&math(A);がエルミート行列であることに注目すると, Kryl...
Lanczos原理のアルゴリズムは以下のように書かれる.
+Set &math(\vec{v}_1 = \vec{r}_0 / \| \vec{r}_0 \|_2, \ve...
+For &math(j = 1, 2, \ldots, k);
+ &math(\vec{w}_j = A\vec{v}_{j-1} - \beta_j \vec{v}_{...
+ &math(\alpha_j = (\vec{v}_j, \vec{w}_j));
+ &math(\vec{w}_j = \vec{w}_j - \alpha_j \vec{v}_j);
+ &math(\beta_{j+1} = \| \vec{w}_j \|_2.); If &math(\b...
+ &math(\vec{v}_{j+1} = \vec{w}_j / \beta_{j+1});
+End for
ここで, 行列&math(T_k, \widetilde{T}_k);を三重対角行列
#br
CENTER:&math(T_k = \left( \begin{array}{ccccc} \alpha_1 &...
#br
と置くと, Lanczos原理の行列表現
#br
#math(AV_k &=& V_{k+1} \widetilde{T}_k = V_k T_k + \beta_...
#br
を得る.
ここで, &math(\vec{e}_k=[0, \ldots, 0, 1]^T \in {\mathcal...
***Ritz-Galerkin条件 [#y5f9b75d]
CG法のベクトル&math(\vec{y}_k);は残差ベクトル&math(\vec{r...
#br
#math(\vec{r}_k \bot {\mathcal K}_k(A,\vec{r}_0))
#br
の直交性を持つよう設定される.
この直交条件をRitz-Galerkin条件と呼ぶ.
***CG法導出の基本原理 [#s1033e87]
Lanczos原理の行列表現(4)およびRitz-Galerkin条件(5)より,
#br
CENTER:&math(\vec{0} = V_k^H\vec{r}_k = V_k^T(\vec{r}_0-A...
#br
が成り立つ.
ここで, &math(\beta = \| \vec{r}_0 \|_2, \vec{e}_1=[1, 0,...
従って, ベクトル&math(\vec{y}_k);は&math(k \times k);次の...
#br
#math(T_k \vec{y}_k = \beta \vec{e}_1)
#br
を解くことで計算される.
***導出の詳細 [#n8c5f945]
係数行列&math(A);がHPD(正定値エルミート行列)である場合, ...
方程式(6)をCholesky分解を用いて解く方法をLanczos法と呼び,...
SYMMLQ法は不定値な行列に対しても適用可能である.
一方, CG法の導出はLanczos法やSYMMLQ法と少し異なる.
行列&math(D_k, L_k);をそれぞれ, &math(T_k=L_kD_kL_k^T);を...
また, &math(P_k=[\vec{p}_1, \vec{p}_2, \ldots, \vec{p}_k]...
この時, 近似解&math(\vec{x}_k);は
#br
#math(\vec{x}_k = \vec{x}_0 + P_k \vec{w}_k, \quad L_k D_...
#br
と書ける.
式(7)および&math(P_k, \vec{w}_k);の定義から, ベクトル&mat...
#br
CENTER:&math( \vec{x}_{j+1} &=& \vec{x}_j + \alpha_j \vec...
#br
の漸化式により計算出来る.
ただし, &math(\vec{p}_0 = \vec{r}_0);とする.
一方で,
#br
CENTER:&math(P_k^HAP_k = L_k^{-1}T_kL_k^{-H}=D_k);
#br
の関係式およびRitz-Galerkin条件(5)から, &math(i \neq j);...
#br
CENTER:&math( (\vec{p}_i, A\vec{p}_j) = 0, \quad (\vec{r}...
#br
が成り立つ.
これらの条件が成り立つよう, 漸化式の&math(\alpha_j, \beta...
#br
CENTER:&math(\alpha_j = \frac{(\vec{r}_j, \vec{r}_j)}{(\v...
#br
のように設定される.
//---------------------------------------------
*アルゴリズム [#n7b3760f]
**CG法 [#vf9dca7d]
+Set an initial guess &math(\vec{x}_0);
+Compute &math(\vec{r}_0=\vec{b}-A\vec{x}_0, \vec{p}_0 = ...
+For &math(k = 0, 1, 2, \ldots);
+ &math(\quad \alpha_k = (\vec{r}_k, \vec{r}_k)/ (\vec...
+ &math(\quad \vec{x}_{k+1} = \vec{x}_k + \alpha_k \ve...
+ &math(\quad \vec{r}_{k+1} = \vec{r}_k - \alpha_k A \...
+ &math(\quad \beta_k = (\vec{r}_{k+1},\vec{r}_{k+1})/...
+ &math(\quad \vec{p}_{k+1} = \vec{r}_{k+1} + \beta_k ...
+End For
**前処理付きCG法 [#da0d7d55]
+Set an initial guess &math(\vec{x}_0);
+Compute &math(\vec{r}_0=\vec{b}-A\vec{x}_0, \vec{p}_0 = ...
+For &math(k = 0, 1, 2, \ldots);
+ &math(\quad \alpha_k = (K^{-1} \vec{r}_k, \vec{r}_k)...
+ &math(\quad \vec{x}_{k+1} = \vec{x}_k + \alpha_k \ve...
+ &math(\quad \vec{r}_{k+1} = \vec{r}_k - \alpha_k A \...
+ &math(\quad \beta_k = (K^{-1} \vec{r}_{k+1},\vec{r}_...
+ &math(\quad \vec{p}_{k+1} = K^{-1} \vec{r}_{k+1} + \...
+End For
//---------------------------------------------
*サンプルプログラム [#pae4c166]
準備中
//---------------------------------------------
*適用事例 [#v6f0663d]
準備中
//---------------------------------------------
*参考文献および参考書 [#t1b3c233]
**原著論文 [#r3a47c2b]
[10] Magnes R. Hestenes and Eduard Stiefel, Methods of co...
Journal of Research of the National Bureau of Standards 1...
**教科書 [#o9b766b8]
[2] Richard Barrett, Michael W. Berry, Tony F. Chan, Jame...
Victor Eijkhout, Roldan Pozo, Charles Romine and Henk A. ...
Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative...
1993.&br;
P14–17
[14] Yousef Saad, Iterative Methods for Sparse Linear Sys...
2003.&br;
P187–194
[27] Henk A. van der Vorst, Iterative Krylov Methods for ...
Press: New York, NY, 2003.&br;
P37–47
[23] Masaaki Sugihara and Kazuo Murota, Theoretical Numer...
Tokyo, 2009, (in Japanese).&br;
P148–153&br;
[29] 藤野 清次, 張 紹良, 反復法の数理 (応用数値計算ライブ...
P31–35
終了行:
[[1 線形方程式の解法の選択]]&br;
[[2 参考文献および参考書の記述]]&br;
線形方程式, &math(Ax=b); >>> 実対称/複素エ...
#contents
---------------------------------------------
*概要 [#y944675d]
-CG法(共役勾配法)は1952年にHestenesとStiefelによって提案...
-初期近似解を&math(\vec{x}_0);, 対応する初期残差を&math(\...
また, 線形方程式&math(A\vec{x}=\vec{b});の真の解を&math(\...
この時, CG法の&math(k);反復目の近似解&math(\vec{x}_k);は,
#br
CENTER:&math(\vec{x}_k \in \vec{x}_0 + {\mathcal K}_k(A,\...
#br
のように, 初期近似解&math(\vec{x}_0);とクリロフ部分空間&m...
#br
CENTER:&math(\phi(\vec{x}):= (\vec{x}-\vec{x}^\ast, A(\ve...
#br
を最小化するように設定される.
(行列&math(A);が正定値の時, &math(\phi(\vec{x}) \geq 0 = ...
-CG法の近似解&math(\vec{x}_k);に対応する残差ベクトル&math...
#br
CENTER:&math(\vec{r}_k \bot {\mathcal K}_k(A,\vec{r}_0));
#br
の直交性(Ritz-Galerkin条件)を持つ.
-CG法の収束性は
#br
CENTER:&math(\phi(\vec{x}_k) \leq \phi(\vec{x}_0) \cdot 4...
#br
で表され, 2次関数値&math(\phi(\vec{x}_k));は単調に減少する.
ここで, &math(\kappa=);(最大固有値)/(最小固有値)であると...
ただし, 一般に収束判定に用いられる残差ノルム&math(\| \vec...
//---------------------------------------------
*導出 [#w048acf0]
**2次関数最小化としての導出 [#h1be2ba3]
~線形方程式&math(A\vec{x}=\vec{b});の真の解を&math(\vec{x...
この時, 2次関数
#br
//#math(\phi(\vec{x}):= (\vec{x}-\vec{x}^\ast, A(\vec{x}-...
CENTER:&math(\phi(\vec{x}):= (\vec{x}-\vec{x}^\ast, A(\ve...
#br
は, &math(\phi(\vec{x}) \geq 0 = \phi(\vec{x}^\ast));を満...
そこで, 2次関数&math(\phi(\vec{x}));の最小化問題
#br
#math( \min_{\vec{x} \in C^n } \phi(\vec{x}) )
#br
を(反復法で)解くことで, 線形方程式&math(A\vec{x}=\vec{b})...
***逐次最小化法 [#p7fd3c6e]
~最小化問題(1)を解く単純な反復法として, 適当な初期近似解&...
+何らかの方法で, 探索方向ベクトル&math(\vec{p}_k);を定める.
+&math(\phi(\vec{x}_k+\alpha_k \vec{p}_k));を最小化するよ...
を繰り返すアルゴリズムが考えられる.
このアルゴリズムは''逐次最小化法''とよばれ, 1次元最小化の...
***最急降下法 [#h7e9d6fa]
~探索方向ベクトル&math(\vec{p}_k);の設定によって様々な逐...
#br
CENTER:&math(\vec{p}_k = -\nabla \phi(\vec{x}_k) = \vec{r...
#br
のように&math(\vec{x}=\vec{x}_k);における&math(\phi(\vec{...
この方法は''最急降下法''と呼ばる.
最急降下法は目的関数&math(\phi(\vec{x}_k));が単調に減少し...
***共役方向法 [#r7343d56]
~一方, 一般の逐次最小化法で得られる近似解&math(\vec{x}_k)...
#br
CENTER:&math({\mathcal S}_k = \vec{x}_0 + {\bf span}\{\ve...
#br
に属する.
ここで, 逐次最小化法(の探索方向ベクトル&math(\vec{p}_k);)...
証明は割愛するが, 探索方向ベクトル&math(\vec{p}_k);に対し,
#br
#math( (\vec{p}_i,A\vec{p}_j) = 0, \quad 0 \leq i<j \leq ...
#br
を仮定すると, 以下が成り立つ.
-&math(\vec{p}_1, \vec{p}_2, \ldots, \vec{p}_{k-1});は1次...
#br
CENTER:&math({\bf dim}({\mathcal S}_k) = k);.
-&math(\vec{x}_k);はアフィン空間&math({\mathcal S}_k);上...
#br
CENTER:&math(\phi(\vec{x}_k) = \min_{\vec{x} \in {\mathca...
-残差ベクトル&math(\vec{r}_k = \vec{b} - A\vec{x}_k);はそ...
#br
CENTER:&math( (\vec{r}_k,\vec{p}_j) = 0, \quad j = 0, 1, ...
このように逐次最小化法の探索方向ベクトル&math(\vec{p}_k);...
***共役勾配法 [#ee158e98]
最急降下法に基づく共役方向法として,
#br
CENTER:&math(\vec{p}_0 = \vec{r}_0,);
#br
CENTER:&math(\vec{p}_k = \vec{r}_k - \sum_{j=0}^{k-1} \fr...
#br
と設定する方法を''共役勾配法(Conjugate Gradient法)''と呼ぶ.
また, CG法の&math(\alpha_k, \beta_{k-1});はそれぞれ,
#br
CENTER:&math( \alpha_k = \frac{(\vec{r}_k,\vec{p}_k)}{(\v...
#br
のように変形出来る.
**クリロフ部分空間法としての導出 [#p7960a3b]
//準備中
初期近似解を&math(\vec{x}_0);, 対応する初期残差を&math(\v...
また, Krylov部分空間
#br
#math({\mathcal K}_k(A,\vec{r}_0) := {\bf span}\{\vec{r}_...
#br
の基底を列に持つ&math(n \times k);行列を&math(V_k=[\vec{v...
この時, 一般に, Krylov部分空間法の&math(k);反復目の近似解...
#br
CENTER:&math(\vec{x}_k = \vec{x}_0 + V_k \vec{y}_k, \quad...
#br
と書ける.
ここで, &math(\vec{y}_k \in {\mathcal C}^k);である.
基底の生成アルゴリズムおよびベクトル&math(\vec{y}_k);の設...
CG法は, Lanczos原理に基づき基底&math(V_k);を, またベクト...
***Lanczos原理 [#w5d0c3bc]
行列&math(A);がエルミート行列であることに注目すると, Kryl...
Lanczos原理のアルゴリズムは以下のように書かれる.
+Set &math(\vec{v}_1 = \vec{r}_0 / \| \vec{r}_0 \|_2, \ve...
+For &math(j = 1, 2, \ldots, k);
+ &math(\vec{w}_j = A\vec{v}_{j-1} - \beta_j \vec{v}_{...
+ &math(\alpha_j = (\vec{v}_j, \vec{w}_j));
+ &math(\vec{w}_j = \vec{w}_j - \alpha_j \vec{v}_j);
+ &math(\beta_{j+1} = \| \vec{w}_j \|_2.); If &math(\b...
+ &math(\vec{v}_{j+1} = \vec{w}_j / \beta_{j+1});
+End for
ここで, 行列&math(T_k, \widetilde{T}_k);を三重対角行列
#br
CENTER:&math(T_k = \left( \begin{array}{ccccc} \alpha_1 &...
#br
と置くと, Lanczos原理の行列表現
#br
#math(AV_k &=& V_{k+1} \widetilde{T}_k = V_k T_k + \beta_...
#br
を得る.
ここで, &math(\vec{e}_k=[0, \ldots, 0, 1]^T \in {\mathcal...
***Ritz-Galerkin条件 [#y5f9b75d]
CG法のベクトル&math(\vec{y}_k);は残差ベクトル&math(\vec{r...
#br
#math(\vec{r}_k \bot {\mathcal K}_k(A,\vec{r}_0))
#br
の直交性を持つよう設定される.
この直交条件をRitz-Galerkin条件と呼ぶ.
***CG法導出の基本原理 [#s1033e87]
Lanczos原理の行列表現(4)およびRitz-Galerkin条件(5)より,
#br
CENTER:&math(\vec{0} = V_k^H\vec{r}_k = V_k^T(\vec{r}_0-A...
#br
が成り立つ.
ここで, &math(\beta = \| \vec{r}_0 \|_2, \vec{e}_1=[1, 0,...
従って, ベクトル&math(\vec{y}_k);は&math(k \times k);次の...
#br
#math(T_k \vec{y}_k = \beta \vec{e}_1)
#br
を解くことで計算される.
***導出の詳細 [#n8c5f945]
係数行列&math(A);がHPD(正定値エルミート行列)である場合, ...
方程式(6)をCholesky分解を用いて解く方法をLanczos法と呼び,...
SYMMLQ法は不定値な行列に対しても適用可能である.
一方, CG法の導出はLanczos法やSYMMLQ法と少し異なる.
行列&math(D_k, L_k);をそれぞれ, &math(T_k=L_kD_kL_k^T);を...
また, &math(P_k=[\vec{p}_1, \vec{p}_2, \ldots, \vec{p}_k]...
この時, 近似解&math(\vec{x}_k);は
#br
#math(\vec{x}_k = \vec{x}_0 + P_k \vec{w}_k, \quad L_k D_...
#br
と書ける.
式(7)および&math(P_k, \vec{w}_k);の定義から, ベクトル&mat...
#br
CENTER:&math( \vec{x}_{j+1} &=& \vec{x}_j + \alpha_j \vec...
#br
の漸化式により計算出来る.
ただし, &math(\vec{p}_0 = \vec{r}_0);とする.
一方で,
#br
CENTER:&math(P_k^HAP_k = L_k^{-1}T_kL_k^{-H}=D_k);
#br
の関係式およびRitz-Galerkin条件(5)から, &math(i \neq j);...
#br
CENTER:&math( (\vec{p}_i, A\vec{p}_j) = 0, \quad (\vec{r}...
#br
が成り立つ.
これらの条件が成り立つよう, 漸化式の&math(\alpha_j, \beta...
#br
CENTER:&math(\alpha_j = \frac{(\vec{r}_j, \vec{r}_j)}{(\v...
#br
のように設定される.
//---------------------------------------------
*アルゴリズム [#n7b3760f]
**CG法 [#vf9dca7d]
+Set an initial guess &math(\vec{x}_0);
+Compute &math(\vec{r}_0=\vec{b}-A\vec{x}_0, \vec{p}_0 = ...
+For &math(k = 0, 1, 2, \ldots);
+ &math(\quad \alpha_k = (\vec{r}_k, \vec{r}_k)/ (\vec...
+ &math(\quad \vec{x}_{k+1} = \vec{x}_k + \alpha_k \ve...
+ &math(\quad \vec{r}_{k+1} = \vec{r}_k - \alpha_k A \...
+ &math(\quad \beta_k = (\vec{r}_{k+1},\vec{r}_{k+1})/...
+ &math(\quad \vec{p}_{k+1} = \vec{r}_{k+1} + \beta_k ...
+End For
**前処理付きCG法 [#da0d7d55]
+Set an initial guess &math(\vec{x}_0);
+Compute &math(\vec{r}_0=\vec{b}-A\vec{x}_0, \vec{p}_0 = ...
+For &math(k = 0, 1, 2, \ldots);
+ &math(\quad \alpha_k = (K^{-1} \vec{r}_k, \vec{r}_k)...
+ &math(\quad \vec{x}_{k+1} = \vec{x}_k + \alpha_k \ve...
+ &math(\quad \vec{r}_{k+1} = \vec{r}_k - \alpha_k A \...
+ &math(\quad \beta_k = (K^{-1} \vec{r}_{k+1},\vec{r}_...
+ &math(\quad \vec{p}_{k+1} = K^{-1} \vec{r}_{k+1} + \...
+End For
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*サンプルプログラム [#pae4c166]
準備中
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*適用事例 [#v6f0663d]
準備中
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*参考文献および参考書 [#t1b3c233]
**原著論文 [#r3a47c2b]
[10] Magnes R. Hestenes and Eduard Stiefel, Methods of co...
Journal of Research of the National Bureau of Standards 1...
**教科書 [#o9b766b8]
[2] Richard Barrett, Michael W. Berry, Tony F. Chan, Jame...
Victor Eijkhout, Roldan Pozo, Charles Romine and Henk A. ...
Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative...
1993.&br;
P14–17
[14] Yousef Saad, Iterative Methods for Sparse Linear Sys...
2003.&br;
P187–194
[27] Henk A. van der Vorst, Iterative Krylov Methods for ...
Press: New York, NY, 2003.&br;
P37–47
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