Bi-CG 法
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開始行:
[[1 線形方程式の解法の選択]]&br;
[[2 参考文献および参考書の記述]]&br;
線形方程式, &math(Ax=b); >>> 実非対称/複素...
#contents
---------------------------------------------
*概要 [#y341284b]
-Bi-CG法(双共役勾配法)は1976年にFletcherによって提案され...
-初期近似解を&math(\vec{x}_0);, 対応する初期残差を&math(\...
この時, Bi-CG法の&math(k);反復目の近似解&math(\vec{x}_k);...
#br
CENTER:&math(\vec{x}_k \in \vec{x}_0 + {\mathcal K}_k(A,\...
#br
のように, 初期近似解&math(\vec{x}_0);とクリロフ部分空間&m...
#br
CENTER:&math(\vec{r}_k \bot {\mathcal K}_k(A^H,\vec{r}^\a...
#br
の直交条件(Petrov-Galerkin条件)を満たすように設定される.
ここで, &math(\vec{r}_0^\ast);は初期シャドウ残差と呼ばれ,...
一般には&math(\vec{r}_0^\ast = \vec{r}_0);と設定される.
-Krylov部分空間の基底として, Bi-Lancoz原理によって生成さ...
Bi-Lanczos原理はArnoldi原理と異なり短い漸化式を持つため, ...
その代わりに, 反復当たりに&math(A);だけでなく&math(A^H);...
-[[CG 法]]を非エルミート線形方程式へ拡張した解法であり, B...
//---------------------------------------------
*導出 [#y765dbc2]
準備中
//---------------------------------------------
*アルゴリズム [#g3c09fe9]
**Bi-CG法 [#xc2f5148]
+Set an initial guess &math(\vec{x}_0);
+Compute &math(\vec{r}_0=\vec{b}-A\vec{x}_0);
+Set an arbitrary vector &math(\vec{r}_0^\ast); s.t. &mat...
+Set &math(\vec{p}_0 = \vec{r}_0, \vec{p}_0^\ast = \vec{r...
+For &math(k = 0, 1, 2, \ldots);
+ &math(\quad \alpha_k = (\vec{r}_k^\ast, \vec{r}_k)/ ...
+ &math(\quad \vec{x}_{k+1} = \vec{x}_k + \alpha_k \ve...
+ &math(\quad \vec{r}_{k+1} = \vec{r}_k - \alpha_k A \...
+ &math(\quad \vec{r}_{k+1}^\ast = \vec{r}_k^\ast - \b...
+ &math(\quad \beta_k = (\vec{r}_{k+1}^\ast,\vec{r}_{k...
+ &math(\quad \vec{p}_{k+1} = \vec{r}_{k+1} + \beta_k ...
+ &math(\quad \vec{p}_{k+1}^\ast = \vec{r}_{k+1}^\ast ...
+End For
**前処理付きBi-CG法 [#xc2f5148]
+Set an initial guess &math(\vec{x}_0);
+Compute &math(\vec{r}_0=\vec{b}-A\vec{x}_0);
+Set an arbitrary vector &math(\vec{r}_0^\ast); s.t. &mat...
+Set &math(\vec{p}_0 = K^{-1}\vec{r}_0, \vec{p}_0^\ast = ...
+For &math(k = 0, 1, 2, \ldots);
+ &math(\quad \alpha_k = (\vec{r}_k^\ast, K^{-1}\vec{r...
+ &math(\quad \vec{x}_{k+1} = \vec{x}_k + \alpha_k \ve...
+ &math(\quad \vec{r}_{k+1} = \vec{r}_k - \alpha_k A \...
+ &math(\quad \vec{r}_{k+1}^\ast = \vec{r}_k^\ast - \b...
+ &math(\quad \beta_k = (\vec{r}_{k+1}^\ast, K^{-1}\ve...
+ &math(\quad \vec{p}_{k+1} = K^{-1} \vec{r}_{k+1} + \...
+ &math(\quad \vec{p}_{k+1}^\ast = K^{-H} \vec{r}_{k+1...
+End For
//---------------------------------------------
*サンプルプログラム [#z4fb948d]
準備中
//---------------------------------------------
*適用事例 [#xb92758f]
準備中
*参考文献および参考書 [#i392ff4b]
**原著論文 [#tb43c3a3]
[6] Roger Fletcher, Conjugate gradient methods for indefi...
**教科書 [#ga846873]
[2] Richard Barrett, Michael W. Berry, Tony F. Chan, Jame...
Victor Eijkhout, Roldan Pozo, Charles Romine and Henk A. ...
Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative...
1993.&br;
P21–23
[14] Yousef Saad, Iterative Methods for Sparse Linear Sys...
2003.&br;
P222–224
[27] Henk A. van der Vorst, Iterative Krylov Methods for ...
Press: New York, NY, 2003.&br;
P95–98
[23] Masaaki Sugihara and Kazuo Murota, Theoretical Numer...
Tokyo, 2009, (in Japanese).&br;
P181–190
[29] 藤野 清次, 張 紹良, 反復法の数理 (応用数値計算ライブ...
P38–41
終了行:
[[1 線形方程式の解法の選択]]&br;
[[2 参考文献および参考書の記述]]&br;
線形方程式, &math(Ax=b); >>> 実非対称/複素...
#contents
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*概要 [#y341284b]
-Bi-CG法(双共役勾配法)は1976年にFletcherによって提案され...
-初期近似解を&math(\vec{x}_0);, 対応する初期残差を&math(\...
この時, Bi-CG法の&math(k);反復目の近似解&math(\vec{x}_k);...
#br
CENTER:&math(\vec{x}_k \in \vec{x}_0 + {\mathcal K}_k(A,\...
#br
のように, 初期近似解&math(\vec{x}_0);とクリロフ部分空間&m...
#br
CENTER:&math(\vec{r}_k \bot {\mathcal K}_k(A^H,\vec{r}^\a...
#br
の直交条件(Petrov-Galerkin条件)を満たすように設定される.
ここで, &math(\vec{r}_0^\ast);は初期シャドウ残差と呼ばれ,...
一般には&math(\vec{r}_0^\ast = \vec{r}_0);と設定される.
-Krylov部分空間の基底として, Bi-Lancoz原理によって生成さ...
Bi-Lanczos原理はArnoldi原理と異なり短い漸化式を持つため, ...
その代わりに, 反復当たりに&math(A);だけでなく&math(A^H);...
-[[CG 法]]を非エルミート線形方程式へ拡張した解法であり, B...
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*導出 [#y765dbc2]
準備中
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*アルゴリズム [#g3c09fe9]
**Bi-CG法 [#xc2f5148]
+Set an initial guess &math(\vec{x}_0);
+Compute &math(\vec{r}_0=\vec{b}-A\vec{x}_0);
+Set an arbitrary vector &math(\vec{r}_0^\ast); s.t. &mat...
+Set &math(\vec{p}_0 = \vec{r}_0, \vec{p}_0^\ast = \vec{r...
+For &math(k = 0, 1, 2, \ldots);
+ &math(\quad \alpha_k = (\vec{r}_k^\ast, \vec{r}_k)/ ...
+ &math(\quad \vec{x}_{k+1} = \vec{x}_k + \alpha_k \ve...
+ &math(\quad \vec{r}_{k+1} = \vec{r}_k - \alpha_k A \...
+ &math(\quad \vec{r}_{k+1}^\ast = \vec{r}_k^\ast - \b...
+ &math(\quad \beta_k = (\vec{r}_{k+1}^\ast,\vec{r}_{k...
+ &math(\quad \vec{p}_{k+1} = \vec{r}_{k+1} + \beta_k ...
+ &math(\quad \vec{p}_{k+1}^\ast = \vec{r}_{k+1}^\ast ...
+End For
**前処理付きBi-CG法 [#xc2f5148]
+Set an initial guess &math(\vec{x}_0);
+Compute &math(\vec{r}_0=\vec{b}-A\vec{x}_0);
+Set an arbitrary vector &math(\vec{r}_0^\ast); s.t. &mat...
+Set &math(\vec{p}_0 = K^{-1}\vec{r}_0, \vec{p}_0^\ast = ...
+For &math(k = 0, 1, 2, \ldots);
+ &math(\quad \alpha_k = (\vec{r}_k^\ast, K^{-1}\vec{r...
+ &math(\quad \vec{x}_{k+1} = \vec{x}_k + \alpha_k \ve...
+ &math(\quad \vec{r}_{k+1} = \vec{r}_k - \alpha_k A \...
+ &math(\quad \vec{r}_{k+1}^\ast = \vec{r}_k^\ast - \b...
+ &math(\quad \beta_k = (\vec{r}_{k+1}^\ast, K^{-1}\ve...
+ &math(\quad \vec{p}_{k+1} = K^{-1} \vec{r}_{k+1} + \...
+ &math(\quad \vec{p}_{k+1}^\ast = K^{-H} \vec{r}_{k+1...
+End For
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*サンプルプログラム [#z4fb948d]
準備中
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*適用事例 [#xb92758f]
準備中
*参考文献および参考書 [#i392ff4b]
**原著論文 [#tb43c3a3]
[6] Roger Fletcher, Conjugate gradient methods for indefi...
**教科書 [#ga846873]
[2] Richard Barrett, Michael W. Berry, Tony F. Chan, Jame...
Victor Eijkhout, Roldan Pozo, Charles Romine and Henk A. ...
Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative...
1993.&br;
P21–23
[14] Yousef Saad, Iterative Methods for Sparse Linear Sys...
2003.&br;
P222–224
[27] Henk A. van der Vorst, Iterative Krylov Methods for ...
Press: New York, NY, 2003.&br;
P95–98
[23] Masaaki Sugihara and Kazuo Murota, Theoretical Numer...
Tokyo, 2009, (in Japanese).&br;
P181–190
[29] 藤野 清次, 張 紹良, 反復法の数理 (応用数値計算ライブ...
P38–41
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