代数的マルチグリッド法
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開始行:
[[1 線形方程式の解法の選択]]&br;
[[2 参考文献および参考書の記述]]&br;
線形方程式, &math(Ax=b); >>> 実非対称/複素...
#contents
---------------------------------------------
*概要 [#pe324e74]
- 一般の線形方程式に対して[[幾何的マルチグリッド法]]と同...
- 粗い方程式の生成, ベクトルの制限及び補完はそれぞれ代数...
*代数的マルチグリッド法とその2段グリッド法 [#t323b7f1]
一般の&math(n);次元線形方程式
#br
CENTER:&math(A{\vec u}={\vec b});
#br
に対する代数的マルチグリッド法は, [[幾何的マルチグリッド...
**2段グリッド法のアルゴリズム [#d94c29b1]
+ 方程式&math(A{\vec u}={\vec b});に対し定常反復法を数反...
+ 残差&math({\vec r}:={\vec b}-A^h{\vec u}^h);の粗い格子...
+ 粗い格子の方程式&math(A' {\vec v}'={\vec r}');を解く.
+ &math({\vec v}');の補完(interpolation)&math(P{\vec v}')...
+ 方程式&math(A{\vec u}={\vec b});に対し&math({\vec u});...
*2段グリッド法 [#p8d56bf5]
以下では, 上記の代数的マルチグリッド法における2段グリッド...
#br
#math(A' {\vec u}' = {\vec b}');
#br
の係数行列&math(A');, 制限行列&math(R);, 補完行列&math(P)...
**空間的高周波成分と空間的低周波成分 [#x1432747]
幾何的マルチグリッド法は, 定常反復法を適用すると誤差の空...
一方代数的マルチグリッド法では, この性質を利用し, 定常反...
つまり, 定常反復法の反復行列を&math(S);とすると, &math(S ...
ここで, 定常反復法として(減速)Jacobi 法を用い, また係数行...
#br
#math(A {\vec e} \approx {\vec 0});
#br
を満たす.
また, 行列&math(A);の第&math(i);行における比較的大きな非...
#br
CENTER:&math(S_i := \{j|j \neq i; |a_{ij} | \geq \theta \...
#br
と定義する.
この時, 行列&math(A);が対称なM行列である場合, 式(2) より,...
(これを「&math(S_i); の方向に滑らか」と表現する.)
** 補完行列&math(P);の設定 [#i6513e4f]
変数の番号の集合を&math(V:=\{1, 2, \ldots, n\});, 粗い格...
この時, 代数的に滑らかな成分が&math(S_i);方向に滑らかであ...
#br
#math((P{\vec v}')_i = \left\{ \begin{array}{ll} {v}'_i &...
#br
のように設定する.
ただし, &math(C_i = C \cap S_i);であり, &math(\pi_{ij});...
// 近似解&math({\vec u});の誤差&math({\vec e});が代数的に...
// このため, 任意の代数的に滑らかな成分が(少なくとも近似...
*参考文献および参考書 [#l077e0f3]
**原著論文 [#s16e076d]
**教科書 [#v582b626]
[14] Yousef Saad, Iterative Methods for Sparse Linear Sys...
2003.&br;
P407–449
[23] Masaaki Sugihara and Kazuo Murota, Theoretical Numer...
P106–136
終了行:
[[1 線形方程式の解法の選択]]&br;
[[2 参考文献および参考書の記述]]&br;
線形方程式, &math(Ax=b); >>> 実非対称/複素...
#contents
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*概要 [#pe324e74]
- 一般の線形方程式に対して[[幾何的マルチグリッド法]]と同...
- 粗い方程式の生成, ベクトルの制限及び補完はそれぞれ代数...
*代数的マルチグリッド法とその2段グリッド法 [#t323b7f1]
一般の&math(n);次元線形方程式
#br
CENTER:&math(A{\vec u}={\vec b});
#br
に対する代数的マルチグリッド法は, [[幾何的マルチグリッド...
**2段グリッド法のアルゴリズム [#d94c29b1]
+ 方程式&math(A{\vec u}={\vec b});に対し定常反復法を数反...
+ 残差&math({\vec r}:={\vec b}-A^h{\vec u}^h);の粗い格子...
+ 粗い格子の方程式&math(A' {\vec v}'={\vec r}');を解く.
+ &math({\vec v}');の補完(interpolation)&math(P{\vec v}')...
+ 方程式&math(A{\vec u}={\vec b});に対し&math({\vec u});...
*2段グリッド法 [#p8d56bf5]
以下では, 上記の代数的マルチグリッド法における2段グリッド...
#br
#math(A' {\vec u}' = {\vec b}');
#br
の係数行列&math(A');, 制限行列&math(R);, 補完行列&math(P)...
**空間的高周波成分と空間的低周波成分 [#x1432747]
幾何的マルチグリッド法は, 定常反復法を適用すると誤差の空...
一方代数的マルチグリッド法では, この性質を利用し, 定常反...
つまり, 定常反復法の反復行列を&math(S);とすると, &math(S ...
ここで, 定常反復法として(減速)Jacobi 法を用い, また係数行...
#br
#math(A {\vec e} \approx {\vec 0});
#br
を満たす.
また, 行列&math(A);の第&math(i);行における比較的大きな非...
#br
CENTER:&math(S_i := \{j|j \neq i; |a_{ij} | \geq \theta \...
#br
と定義する.
この時, 行列&math(A);が対称なM行列である場合, 式(2) より,...
(これを「&math(S_i); の方向に滑らか」と表現する.)
** 補完行列&math(P);の設定 [#i6513e4f]
変数の番号の集合を&math(V:=\{1, 2, \ldots, n\});, 粗い格...
この時, 代数的に滑らかな成分が&math(S_i);方向に滑らかであ...
#br
#math((P{\vec v}')_i = \left\{ \begin{array}{ll} {v}'_i &...
#br
のように設定する.
ただし, &math(C_i = C \cap S_i);であり, &math(\pi_{ij});...
// 近似解&math({\vec u});の誤差&math({\vec e});が代数的に...
// このため, 任意の代数的に滑らかな成分が(少なくとも近似...
*参考文献および参考書 [#l077e0f3]
**原著論文 [#s16e076d]
**教科書 [#v582b626]
[14] Yousef Saad, Iterative Methods for Sparse Linear Sys...
2003.&br;
P407–449
[23] Masaaki Sugihara and Kazuo Murota, Theoretical Numer...
P106–136
ページ名:
![[JICFuS Wiki]](image/pukiwiki.png "[JICFuS Wiki]")
