[[1 線形方程式の解法の選択]]&br;
[[2 参考文献および参考書の記述]]&br;
線形方程式, &math(Ax=b); >>> 実対称/複素エルミート, &math(A=A^H); >>> 不定値 >>> MINRES 法
#contents

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*概要 [#y944675d]
-MINRES法(最小残差法)は1975年にPaigeとSaundersよって提案されたエルミート線形方程式向けのKrylov部分空間法である.
-MINRES法(最小残差法)は1975年にPaigeとSaundersによって提案されたエルミート線形方程式向けのKrylov部分空間法である.

-初期近似解を&math(\vec{x}_0);, 対応する初期残差を&math(\vec{r}_0:=\vec{b}-A\vec{x}_0);と置く.
この時, MINRES法の&math(k);反復目の近似解&math(\vec{x}_k);は,
#br
CENTER:&math(\vec{x}_k \in \vec{x}_0 + {\mathcal K}_k(A,\vec{r}_0), \quad {\mathcal K}_k(A,\vec{r}_0) := {\bf span}\{\vec{r}_0, A\vec{r}_0, \ldots, A^{k-1}\vec{r}_0 \});
#br
のように, 初期近似解&math(\vec{x}_0);とクリロフ部分空間&math({\mathcal K}_k(A,r_0));で張るアフィン空間に含まれ, 最小残差条件
#br
CENTER:&math(\min \| \vec{r}_k \|_2);
#br
を満たすように設定される.
このため, 残差ノルム&math(\| \vec{r}_k \|_2);の単調減少性が保証される.

-MINRES法の残差ベクトル&math(\vec{r}_k=\vec{b}-A\vec{x}_k);は, 
#br
CENTER:&math(\vec{r}_k \bot A{\mathcal K}_k(A,\vec{r}_0));
#br
の直交性を持つ.


-[[CR 法]]と数学的に同値である.

-[[CG 法]]と異なり, 不定値な行列に対しても適用可能である.

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*導出 [#y765dbc2]
準備中

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*アルゴリズム [#g3c09fe9]
**MINRES法 [#xc2f5148]
+Set an initial guess &math(\vec{x}_0);
+Compute &math(\vec{v}_1=\vec{b}-A\vec{x}_0);
+Set &math(\beta_1 = \|\vec{v}_1\|_2, \eta = \beta_1, \gamma_1=\gamma_0=1, \sigma_1=\sigma_0=0, \vec{v}_0=\vec{0}, \vec{w}_0=\vec{w}_{-1}=0);
+For &math(k = 1, 2, \ldots);
+　　&math(\vec{v}_k = (1/\beta_k)\vec{v}_k);
+　　&math(\alpha_k = \vec{v}_k^H A\vec{v}_k);
+　　&math(\vec{v}_{k+1} = A\vec{v}_k - \alpha_k \vec{v}_k - \beta_k \vec{v}_{k-1});
+　　&math(\beta_{k+1}=\|\vec{v}_{k+1}\|_2);
+　　&math(\delta=\gamma_k \alpha_k-\gamma_{k-1} \sigma_k \beta_k);
+　　&math(\rho_1 = \sqrt{\delta^2+\beta_{k+1}^2});
+　　&math(\rho_2 = \sigma_k\alpha_k + \gamma_{k-1} \gamma_k \beta_k);
+　　&math(\rho_3 = \sigma_{k-1} \beta_k);
+　　&math(\gamma_{k+1}=\delta/\rho_1);
+　　&math(\sigma_{k+1} = \beta_{k+1}/\rho_1);
+　　&math(\vec{w}_k = (\vec{v}_k - \rho_3 \vec{w}_{k-2} - \rho_2 \vec{w}_{k-1})/\rho_1);
+　　&math(\vec{x}_k = \vec{x}_{k-1} + \gamma_{k+1} \eta \vec{w}_k);
+　　&math(\|\vec{r}_k\|_2 = |\sigma_{k+1}| \| \vec{r}_{k-1} \|_2);
+　　&math(\eta = - \sigma_{k+1} \eta);
+End For

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*サンプルプログラム [#z4fb948d]
準備中

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*適用事例 [#xb92758f]
準備中
*参考文献および参考書 [#t1b3c233]

**原著論文 [#r3a47c2b]
[12] Christopher C. Paige and Michael A. Saunders, Solution of sparse indefinite systems of linear equations, SIAM Journal on Numerical Analysis 1975; 12(4):617–629.

**教科書 [#o9b766b8]
[2] Richard Barrett, Michael W. Berry, Tony F. Chan, James Demmel, June Donato, Jack Dongarra,
Victor Eijkhout, Roldan Pozo, Charles Romine and Henk A. van der Vorst, Templates for the
Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods, SIAM: Philadelphia, PA,
1993.&br;
P17-18

[27] Henk A. van der Vorst, Iterative Krylov Methods for Large Linear Systems, Cambridge University
Press: New York, NY, 2003.&br;
P84–91
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