![[JICFuS Wiki]](image/pukiwiki.png "[JICFuS Wiki]")
[[1 線形方程式の解法の選択]]&br; [[2 参考文献および参考書の記述]]&br; 線形方程式, &math(Ax=b); >>> 実対称/複素エルミート, &math(A=A^H); >>> 省メモリ型 >>> 最小残差法 #contents --------------------------------------------- *概要 [#wc37278a] -MR法と表記され，日本語表記では最小残差法と呼ばれる．ただし，同じ日本語名を持つ[[MINRES 法]]とは別の解法である点に注意が必要である． -一般に''MR法''と表記され，日本語表記では最小残差法と呼ばれる．ただし，同じ日本語名を持つ[[MINRES 法]]とは別の解法である点に注意が必要である． -[[最急降下法]]のパラメータ&math(\alpha);を残差ノルム&math(\| \vec{r} \|_2);を最小化するように決定した解法． -前処理なしの場合は[[CR 法]]のパラメータ&math(\beta);を0とおいたものに対応する． -[[CR 法]]と同様に残差ノルムは単調減少する． -[[最急降下法]]と同様，[[CG 法]]や[[CR 法]]と比べて一般に収束性はあまり良くない． -[[CG 法]]や[[CR 法]]と比べて，一般に収束性はあまり良くない． ただし，[[CG 法]]で保存する必要のあるベクトルは&math(\vec{x}_k, \vec{r}_k, \vec{p}_k, A\vec{p}_k);の計4本，[[CR 法]]では&math(\vec{x}_k, \vec{r}_k, A\vec{r}_k, \vec{p}_k, A\vec{p}_k);の計4本であるのに対し，最小残差法では&math(\vec{x}_k, \vec{r}_k, A\vec{r}_k);の3本と少なく，メモリの制約がある場合には選択肢の一つとなりうる． //--------------------------------------------- *導出 [#zf11b941] //--------------------------------------------- *アルゴリズム [#y8a66004] **最小残差法 [#e9c263a3] +Set an initial guess &math(\vec{x}_0); +Compute &math(\vec{r}_0=\vec{b}-A\vec{x}_0); +For &math(k = 0, 1, 2, \ldots); + &math(\quad \alpha_k = (\vec{r}_k, A \vec{r}_k)/ (A \vec{r}_k, A\vec{r}_k)); + &math(\quad \vec{x}_{k+1} = \vec{x}_k + \alpha_k \vec{r}_k); + &math(\quad \vec{r}_{k+1} = \vec{r}_k - \alpha_k A \vec{r}_k); +End For **前処理付き最小残差法 [#mfd69923] +Set an initial guess &math(\vec{x}_0); +Compute &math(\vec{r}_0=\vec{b}-A\vec{x}_0); +For &math(k = 0, 1, 2, \ldots); + &math(\quad \alpha_k = (\vec{r}_k, A K^{-1} \vec{r}_k)/ (\vec{r}_k, A K^{-1} \vec{r}_k)); + &math(\quad \vec{x}_{k+1} = \vec{x}_k + \alpha_k K^{-1} \vec{r}_k); + &math(\quad \vec{r}_{k+1} = \vec{r}_k - \alpha_k A K^{-1} \vec{r}_k); +End For //--------------------------------------------- *サンプルプログラム [#weda6485] 準備中 //--------------------------------------------- *適用事例 [#k9ffd69e] 準備中 *参考文献および参考書 [#o45cbf58]
