![[JICFuS Wiki]](image/pukiwiki.png "[JICFuS Wiki]")
1 線形方程式の解法の選択
2 参考文献および参考書の記述
線形方程式, 
>>> 実対称/複素エルミート, 
>>> 正定値 >>> CG 法
, 対応する初期残差を
と置く.
また, 線形方程式
の真の解を
と置く.
この時, CG法の
反復目の近似解
は,
とクリロフ部分空間
で張るアフィン空間に含まれ, アフィン空間上で2次関数
が正定値の時, 
である.)に対応する残差ベクトル
は
は単調に減少する.
ここで, 
(最大固有値)/(最小固有値)であるとする.
ただし, 一般に収束判定に用いられる残差ノルム
は単調減少しない点に注意する.線形方程式の真の解をと置く.
この時, 2次関数
は, を満たす.
そこで, 2次関数
の最小化問題
・・・(1)を(反復法で)解くことで, 線形方程式の解を得ることを考える.
最小化問題(1)を解く単純な反復法として, 適当な初期近似解に対し,
を定める.
を最小化するよう
を設定し, 
のように解を更新する.を繰り返すアルゴリズムが考えられる.
このアルゴリズムは逐次最小化法とよばれ, 1次元最小化の係数は
として容易に計算出来る.
探索方向ベクトルの設定によって様々な逐次最小化法が存在するが,
のように
におけるの最急降下方向に選ぶのが最も自然な方法であろう.
この方法は最急降下法と呼ばる.
最急降下法は目的関数が単調に減少し, 直感的には優れた方法ではあるものの, 計算精度および収束性の面から実用的でないことが知られている.
一方, 一般の逐次最小化法で得られる近似解はアフィン空間
に属する.
ここで, 逐次最小化法(の探索方向ベクトル)に適当な修正を加えることで, アフィン空間上で目的関数の最小化をすることを考える.
証明は割愛するが, 探索方向ベクトルに対し,
・・・(2)を仮定すると, 以下が成り立つ.
は1次独立である:
.はアフィン空間上で最小化問題(1)の目的関数を最小化する:
.
はそれまでの探索方向ベクトルと直交する:
.このように逐次最小化法の探索方向ベクトルに対し(2)の条件を課すことで改良した方法を共役方向法と呼ぶ.
最急降下法に基づく共役方向法として,
と設定する方法を共役勾配法(Conjugate Gradient法)と呼ぶ.
また, CG法の
はそれぞれ,
のように変形出来る.
準備中
準備中
準備中
[10] Magnes R. Hestenes and Eduard Stiefel, Methods of conjugate gradients for solving linear systems, Journal of Research of the National Bureau of Standards 1952; 49(6):409–436.
[2] Richard Barrett, Michael W. Berry, Tony F. Chan, James Demmel, June Donato, Jack Dongarra,
Victor Eijkhout, Roldan Pozo, Charles Romine and Henk A. van der Vorst, Templates for the
Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods, SIAM: Philadelphia, PA,
1993.
P14–17
[14] Yousef Saad, Iterative Methods for Sparse Linear Systems, 2nd ed., SIAM: Philadelphia, PA,
2003.
P187–194
[27] Henk A. van der Vorst, Iterative Krylov Methods for Large Linear Systems, Cambridge University
Press: New York, NY, 2003.
P37–47
[23] Masaaki Sugihara and Kazuo Murota, Theoretical Numerical Linear Algebra, Iwanami Press:
Tokyo, 2009, (in Japanese).
P148–153
[29] 藤野 清次, 張 紹良, 反復法の数理 (応用数値計算ライブラリ) 朝倉書店, 1996.
P31–35
